Докажите что энергия микрочастицы, движущейся в потенциальной яме дискретна.   Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками»

 Итак пусть  «потенциальная яма» описывается потенциальной энергией вида (для простоты принимаем, что частица движется вдоль оси х)

где l— ширина «ямы», а энергия отсчитывается от ее дна  (рис. 296).

Уравнение Шредингера  для стационарных состояний в случае одномерной задачи запишется в виде

По условию задачи  частица не проникает за пределы «ямы», поэтому вероятность ее обнаружения (а следовательно, и волновая функция) за пределами «ямы» равна нулю. На границах «ямы» (при х=0 и х=l) непрерывная волновая функция также должна обращаться в нуль. Следовательно, граничные условия в данном случае имеют вид

(0) =(l)=0. (220.2)

В пределах «ямы» (0xl) уравнение Шредингера (220.1) сведется к уравнению

Общее   решение   дифференциального уравнения  (220.3):

(х)=Аsinkx+Bcoskx.

Так как по (220.2) (0)=0, то В=0. Тогда (x)=Asinkx. (220.5)

Условие (l)=Asinkl=0 (220.2) выполняется только при kl = n, где  — целые числа, т. е. необходимо, чтобы

k= n/l. (220.6)

Из выражений (220.4) и (220.6) следует, что

Е_n=n²²h²/2ml² (n=1,2,3,...), (220.7)

т. е. стационарное уравнение Шредингера, описывающее движение частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками», удовлетворяется только при собственных значениях E_n, зависящих от целого числа п. Следовательно, энергия E_n частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» принимает лишь определенные дискретные значения, т. е. квантуется