Раздел  I 

Дано: E₁=15В, E₂=20В, R₁=11Ом, R₂=12Ом, R₃=15Ом.

Определите ток  I₃  через сопротивление R₃ .  Используя  методы. Схема № 1.

1)    Эквивалентных преобразований.

2)    Эквивалентного генератора.

3)    Узловых потенциалов.

4)    Суперпозиция.

Решение:

1  Метод  эквивалентных преобразований.

     Источники Е₁ и Е₂ включенные последовательно с ними сопротивления R₁ и R₂ заменяются источниками тока I₁ и I₂ с параллельно включенными сопротивлениями R₁ и R₂ заменяются источниками тока I₁ и I₂ с параллельно включенными сопротивлениями R₁ и R₂

I₁=E₁/R₂=15/11=1,36A

I₂=E₂/R₂=20/12=1,67A

Эквивалентная схема (1.1) после замены источников ЭДС на источники тока:Так как источники тока I₁ и I₂ включены параллельно, их можно заменить одним Iэкв.; параллельно включенные сопротивления R₁ и R₂ -  сопротивлением Rэкв.

Iэкв.= I₁ + I₂ = 1,36+1,67=3,03A

1/Rэвк. = 1/R₁•1/R₂ = 1/11+1/12=132/23Ом

Rэкв. = 132/23= 5,74 Ом

Эквивалентная схема (1.2) после замены нескольких источников тока одним:

Источник тока Iэкв. и сопротивление Rэкв., включенное параллельно ему, преобразуется в источник ЭДС с внутренним сопротивлением Rэкв.

Eэкв. = Iэкв • Rэкв.

Eэкв. = 3,03А •5,74Ом=17,39В.

что приводит к схеме(1.2):

 По закону Ома находим ток I3.

I₃ = Eэкв./(Rэкв.+R3) =17,39В/(15Ом+5,74Ом) =0,84А

Ответ: I₃ =0,84A

2 Метод  эквивалентного  генератора.

     Определяем ЭДС Eг эквивалентного генератора одним из методов расчёта. Например, составив контурное уравнение по II закону Кирхгофа.

I₁ (R₁+R₂) = E₁-E₂

найдём ток I1 = I2

I₁=I₂= (E₁-E₂) / (R₁+R₂)

I₁=I₂= (15В-20В) / (11Ом+12Ом)=-5/23Ом =0,22А

Тогда: Ег = U12 = E₂ + I₂•R₂

Eг = U12 = 20В+(-0,22А)•12=20В-2,64В=17,36В

   Находим внутреннее сопротивление Rг эквивалентного генератора, с учётом того, что по отношению к его зажимам 1-2 сопротивления R1 R2 включены параллельно, т.е.

Rг=R₁ R₂/ (R₁+R₂)

Rг=11Ом 12Ом/(11Ом+12Ом) =5,74Ом

По закону Ома находим ток I3.

I₃ = Eэкв./(Rэкв.+R3) =17,39В/(15Ом+5,74Ом) =0,84А

Ответ: I₃ =0,84A

3 Метод узловых потенциалов.

  Определяется напряжение U12 между узлами 1 и 2 по выражению:

U12 = (E1 G1 + E2 G2) / (G1 +G2 +G3)

где G1 ,G2 иG3 – проводимость ветвей цепи

G1=1/R₁=1/11=0,09;  G2= 1/R2 =1/12=0,084;

G3= 1/R₁ =1/15=0,066;

U12= (15В• 0,09 +20В• 0,084) / (0,09+0,084+0,066) = 12,625B

    По закону Ома находится ток I3

I₃ = U12/R₃

I₃= 12,624В /15Ом =0,84A                                               Ответ: I₃ =0,84A

4 Метод суперпозиции.

Источник ЭДС Е₂ заменяется его внутренним сопротивлением (в рассматриваемой задаче приняты идеальные источники ЭДС, то есть их внутренние сопротивления равны 0)

     Схема для определения частичного тока, создаваемого источника ЭДС Е₁:

      Находится частичный ток I₃ c использованием правил определения эквивалентных сопротивлений при параллельном и последовательном соединении пассивных элементов и закона Ома.

а) эквивалентное сопротивление R23 параллельно включенных сопротивлений R₁ и R₂

R23 = R₂R₃/ (R₂+R₃) = 12Ом•15Ом/ (12Ом+15Ом) = 6,66Ом

Полное сопротивление цепи

Rц = R₁+R23 = 11Ом+6,66Ом=17,66Ом

б) Ток I1 в неразветвленной части цепи:

I1=E₁/Rц = 15В/17,66 = 0,84А

в) напряжение на сопротивлении R3

U₃ = U23 =I1•R23  = 0,84•6,66 = 5,59B

г) частичный ток I3'

I₃' = U₃/R₃ = 5,59/15 = 0,37A

  Для определения частичного тока I₃'' расчет следует повторить, оставив в цепи только источник ЭДС Е₂:

а) эквивалентное сопротивление R13 параллельно включенных сопротивлений R₁ и R₃

R13 = R₁•R₃/ (R₁+R₃) = 11Ом•15Ом\ (11Ом+15) = 6,11Ом

Полное сопротивление цепи

Rц = R₂+R13 = 12Ом +6,11Ом = 18,11 Ом

б) Ток I₂ в неразветвленной части цепи:

I₂ = E₂/Rц = 20В/18,11Ом = 1,10A

в) напряжение на сопротивлении R3

U₃ = U13= I₂•R13                          

U₃ = 1,10А•6,11Ом = 6,7B

г) частичный ток I3''

I₃''= U₃/R₃ = 6,7В/15Ом = 0,44A

4) Действительный ток I₃

I₃ = I₃' + I₃''

I₃ = 0,37А + 0,44А = 0.81A

Ответ: I₃ =  0.81A

Раздел II

Дано: R₁=50m; R₂ =40м; R₃=30m; R₄=40m; R₅=70m; R₆=80m;

E₁=0B; E₂=0B;E₃=0B;E₄=0B;E5=0B;E₆=22B;

l₁=5A;l₂=0 A; l₃=8A; l₄=0A; l₅=OA; l₆=0A.

Найти:

1)  составить расчетную схему электрической цепи;

2)  токи во всех ветвях, используя для расчета схемы метод контурных токов;

3)  записать систему уравнений Кирхгофа, необходимых для определения токов во всех ветвях схемы и выполнить проверку расчета цепи методом контурных токов;

4)  выделить в схеме три сопротивления, включенные по схеме треугольника, и заменить их эквивалентным соединением по схеме звезды;

5)  рассчитать напряжение между точками А и В схемы;

6)  составить баланс мощностей для исходной схемы.

Решение:

I Расчет цепи методом контурных токов

1) Определяются контуры, для которых можно составить уравнения контурных токов, и произвольно принимаются направления этих токов. Расчетная схема для расчета методом контурных токов:

Источники тока I и включенные параллельно сопротивления R следует заменить     эквивалентными     источниками     ЭДС     с     внутренними сопротивлениями R_вн равными сопротивлениям параллельных сопротивлений:

Е'=IR_пар

R_вн=R_пар

Е'₁=5*5=25В

Е'₃=8*3=24В

2)Уравнения контурных токов для этой схемы имеют вид:

l₁₁(R₁+R₂+R₃)+l₂₂R₂+l₃₃R₃=E'₁+E' ₃

l₁₁R₂+l₂₂(R₂+R₄+R₅)-l₃₃R₅=0

 l₁₁R₃-l₂₂R₅+l₃₃(R₃+R5+R₆)= E'₃+E₆

Система уравнений после подстановки числовых значений

121₁₁+41₂₂+31зз=25+24=49

41₁₁+15l₂₂- 71зз=0

31зз - 7l₂₂+18l₃₃=24+22=46

3)Составляются определители контурных уравнений: основной     дополнительные     11 ,     22,     ЗЗ.

12     4      3          49

4       15     -7         0

3       -7     18         46

                   12          4            3

        =     4           15           -7      = 2061

                  3            -7           18

                           49        4       3

11 =            0         15     -7          = 7471

                  46        -7       18                                   

                       12       49       3

22  =      4                     0       -7 = -141

                         3                   46       18

                         12     4         49

           33 =        4                  15        0     = 3967

                           3              -7        46

4)По найденным определителям вычисляются контурные токи:

 I 11=      11/А

 I 22=      22/А

 I 33=     ЗЗ/

I 11=7471/2061=3,625 A

I 22=-141/2061=-0,068 A

I 33=3967/2061=1,925 А

5)По контурным токам определяются токи в ветвях цепи:

I₁=I 11

I₂=I 22+I 11

I ₃= I 33+ I 11

I ₄= I 22

I ₅= I 33- I 22

I ₆= I 33

I₁ =3,625 А

1₂=3,625-0,068=3,557 А

I ₃=3,625+1,925=5,550 А

I ₄=-0,068 А(меняем направление)

I ₅= 1,925+0,068= 1,993 А

I ₆= 1,925 А

 II Составление системы уравнений Кирхгофа

                1)На схеме указываются направления токов I_1, I_2, I_3, I_4, I_5,  I₆  ветвях с учётом их знаков и направлений контурных токов и составляем узловые уравнения по первому закону Кирхгофа для независимых узлов 1, 2, 3.

2) Число независимых уравнений на единицу меньше общего числа узлов в цепи.

I₃ - I₂ - I₅ =0

I₁ - I₃ + I₆ =0

 I₅ - I₄  - I₆ = 0

3)Выбираем независимые контуры и произвольно принимаются направления их обхода; для всех контуров по второму закону Кирхгофа составляются контурные уравнения.

I₂R₂-I₄R₄-I₅R5=0

l₁R₁+l₂R₂+l₃R₃=E`<sub>1</sub>+E`₃ 

l₃R₃+l₅ R₅+l₆R₆= Е`₃ + E₆

4)Проводится правильность расчетов подстановкой найденных значений токов в уравнения, составленные по законам Кирхгофа:

5,550-3,557-1,993=0 Верно

3,625-5,550+1,925=0 Верно

1,993-0,068-1,925=0 Верно

3,557*4-0,068*4-1,993*7=0

14,228-0,272-13,951=0

0=0 Верно

3,625*5+5,550*3+3,557*4=24+25 18,125+16,650+14,228=24+25

49 = 49 Верно

5,550*3+1,993*7+1,925*8=22+24

46=46

Ш Замена соединения сопротивлений треугольником соединением

звездой

1) Треугольником соединены сопротивления R₃, R₅, R₆. Сопротивления эквивалентного соединения в звезду имеют значения:

R₂₄= R₂-R₄/(R₂+R₄+R₅)= 16/15=1,067 Ом

R₄₅=R4-R5/(R₂+R₄+R₅)= 28/15= 1,867 Ом

R₄₆=R2-R5/(R₂+R₄+R₅)= 28/15=1,867 Ом

IV Определение напряжения между точками А и В схемы

1)    Для определения напряжения U_АВ составляем уравнение по второму закону Киргофа для замкнутого контура.

U_АВ = I₂R₂+I₃R₃ - E`₃

U_АВ = 3,557*4+5,550*3 - 24 = 6,878 В

Напряжения между узлами А и В приблизительно равно 6,878 В.

V Составление баланса мощностей

1) Мощность источников электроэнергии

Р_ист= E₆ l₆ +E`<sub>1</sub> l <sub>1</sub>+E` ₃l₃

Р_ист = 25*3,625+22*1,925+24*5,550=266,175Вт

Определяется потребляемая сопротивлениями цепи мощность

P_r = l₁²-R₁₊ l₂²-R₂ + l₃²-R₃ +I₄²-R₄ + l₅²'R5 + l₆²-R₆

P_r=3_/625²*5+3,557²*4+5,55²*3+0_;068²*4+l_;993²*7+l,925²*5=255₇071 Вт

Баланс мощностей выполняется, что свидетельствует о правильности вычисления тока в ветвях (погрешность является результатом округления при расчетах).