Скачать:  1362245767_jkj.zip [363,04 Kb] (cкачиваний: 1)  

КУРСОВАЯ работа

по дисциплине «Уравнения свертки»

на тему

  «Исследования по свободным колебаниям ротора на подшипниках»»

СОДЕРЖАНИЕ

Введение  3

1 Определение собственных частот колебания ротора на податливых подшипниках  7

1.1 Классификация сил, действующих при колебаниях  7

1.2 Классификация колебаний  9

1.3 Способ составления уравнения движения для жесткого ротора  12

1.4 Свободные колебания жесткого ротора  16

1.5 Программная реализация задачи  21

2 Влияние характеристик ротора на собственные частоты его колебаний  25

2.1 Влияние массы ротора на частоты его колебаний 25

2.2 Влияние на частоты колебаний ротора жесткостей горизонтальных

опор  28

2.3 Влияние на частоты колебаний ротора жесткостей  вертикальных

опор                                                                                                                     34  

2.4 Влияние на частоты колебаний ротора жесткостей горизонтальных и

 вертикальных опор                                                                                           41

3 Обратная задача по диагностированию характеристик ротора  44

3.1 Постановка обратной задачи  44

3.2 Диагностирование жесткостей вертикальных опор ротора  44

3.3 Диагностирование жесткостей горизонтальных опор ротора  49

3.4 Программная реализация обратной задачи  53

Заключение  61

Список использованных источников и литературы   63

ВВЕДЕНИЕ

Решение поставленной задачи колебания ротора на податливых подшипниках связано с тем что, в ряде случаев колебания мешают нормальной эксплуатации или даже непосредственно угрожают прочности, постепенно подготавливая усталостное разрушение; в таких случаях теория может указать пути для уменьшения вредных колебаний.

Периодический характер работы большинства машин предопределяет периодичность нагружения и деформирования как отдельных их звеньев, так и тех конструкций, которые служат опорами или фундаментами. Можно сказать, что механические колебания, в частности упругие, сопутствуют работе каждой машины.

В ряде случаев колебания возникают и при отсутствии периодического возбуждения. Таковы, например, сравнительно простые процессы свободных колебаний, развивающихся после мгновенного нарушения состояния устойчивого равновесия механической системы,  а также более сложные и в то же время менее изученные процессы, например автоколебания.

Трудно назвать такую область техники, в которой не была бы актуальной проблема изучения упругих колебаний. Большое внимание исследователей привлечено к вопросам колебаний конструкций самых разнообразных назначений: роторов турбин, валов двигателей внутреннего сгорания, турбинных лопаток, воздушных и гребных винтов, автомобилей и железнодорожных вагонов, кораблей и самолетов, инженерных сооружений, перекрытий промышленных зданий, деталей, и т.п.

Задачи по свободным и вынужденным колебаниям механической системы рассмотрены в классических учебниках А.В.Баркова[1], Л.В.Ефремова[2]. Способы составления уравнений движения описаны в работе С.П.Тимошенко[3]. Более общая математическая модель колебаний жесткого ротора  рассмотрена работе А.С.Кингсепа, Г.Р. Локшина, О.А Ольхова[4]. Работа Я.Г.Пановко[5] посвящена использованию компьютерных технологий в теории и практике колебаний механических установок. Общие вопросы теории колебаний рассмотрены также в работе А.Г.Костюка[6]. Решаниям задач диагностирования, динамики и прочности механических систем с использованием Maple посвящены работы А.В.Матросова[7]. Теоретические основы динамики машин, в том числе роторов изучены в работе И.В.Савельева[8].

Прямая задача по свободным колебаниям ротора на подшипниках рассмотрена в работе А.В.Баркова. В отличие от указанных работ в курсовой работе рассматривается влияние характеристик ротора на собственные частоты его колебаний.

Целью работы является теоретическое исследование влияния характеристик жесткого ротора на собственные частоты его колебаний и диагностирование жесткостей опор ротора.

Основными задачами работы являются:

– изучение свободных колебаний механических систем;

– рассмотрение прямой задачи по определению собственных частот колебаний ротора;

– исследование зависимостей собственных частот колебаний ротора от коэффициентов жесткости опор;

–постановка и решение обратной задачи диагностирования жесткостей горизонтальных и вертикальных опор ротора;

– программная реализация поставленных задач.

Методы исследований. Поставленные задачи решались аналитически с применением вычислений на ЭВМ.

Научная новизна полученных результатов состоит в том, что исследовано влияние жесткостей опор жесткого ротора на собственные частоты его колебаний. Эти исследования необходимы при решении проблемы сохранения заданных частот колебаний ротора при изменениях жесткостей его горизонтальных или вертикальных опор.

Решены также задачи диагностирования по известным частотам колебаний жесткостей горизонтальных и вертикальных опор ротора на подшипниках.

Курсовая работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованных источников.

Во введении рассмотрены актуальность темы исследования, поставлены цель, задачи исследования. Приведен обзор литературы по тематике исследования.

Первая глава работы посвящена прямой задаче определения собственных частот колебания ротора на податливых подшипниках. Составлена программа в математическом пакете Maple 12 для определения собственных частот колебаний.  Приведены конкретные примеры.

Во второй главе по решению прямой задачи проведено теоретическое исследование влияния на собственные частоты колебаний таких характеристик жесткого ротора, как горизонтальной и вертикальной опоры. Получено, что увеличение жесткостей, как в вертикальном направлении, так и в горизонтальном направлении ротора  ведет к увеличению значений собственных частот. Зависимость рассмотрена при различных физических параметрах механической системы. Приведены графики и таблицы рассмотренных зависимостей.

В третьей главе поставлена и решена обратная задача – задача диагностирования характеристик ротора по известным собстенным частотам его колебаний. Рассмотрены задачи диагностирования горизонтальных и вертикальных опор. Приведены методы использования двух и трех частот колебаний ротора для решения обратных задач. Приведены конкретные примеры, подтверждающие выводы.

В заключении работы сделаны основные выводы по проведенным исследованиям.

1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ КОЛЕБАНИЯ РОТОРА НА ПОДАТЛИВЫХ ПОДШИПНИКАХ

1.1 Классификация сил, действующих при колебаниях

При определённых допущениях все разнообразные по своей природе внешние и внутренние силы, действующие в колеблющейся системе, можно разделить на несколько характерных групп.

Обобщенные вынуждающие (возмущающие) силы - это внешние силы, являющиеся заданными функциями времени, не зависящие от движения системы, но влияющие на него. Причины возникновения этих сил весьма разнообразны. Например, при работе электродвигателя, установленного на балке или на каком-либо фундаменте, вследствие неуравновешенности ротора возникает центробежная сила инерции, вертикальная составляющая которой вызывает колебания опорной конструкции. Этот вид возбуждения колебаний называется инерционным. Возможны другие причины возникновения вынуждающих сил, например, периодические изменения давления в цилиндрах двигателей внутреннего сгорания или периодические изменения сил притяжения электромагнитов, питаемых источником переменного тока.

Все перечисленные случаи представляют собой силовое возбуждение вынужденных колебаний[9]. В некоторых случаях возбуждение колебаний задаётся кинематически, например автомобиль, движущийся по неровной дороге. Такое возбуждение всегда можно заменить эквивалентным силовым возбуждением.

Весьма разнообразны законы изменения возмущающих сил во времени. Наиболее часто встречаются периодические вынуждающие силы.

Особую роль здесь играет гармоническая вынуждающая сила, т.е. сила, которая изменяется во времени по закону синуса или косинуса. Такая сила возникает при работе машин с равномерно вращающимися роторами.

Машины с кривошипо – шатунными механизмами также вызывают появление периодической возмущающей силы, которая, однако, не является гармонической.

Возможны также колебания, обусловленные действием непериодических вынуждающих сил, представляющих собой случайные функции времени – случайные процессы. К последним относится, например, уже упоминавшееся воздействие неровной дороги на движущийся автомобиль.

Обобщенные позиционные силы – это силы, зависящие от положения точек системы, т.е. от обобщенных координат. Особое значение здесь имеют восстанавливающие силы, которые возникают при отклонении системы от положения равновесия. Эти силы обусловливают способность системы совершать свободные колебания. Основным типом восстанавливающих сил являются силы упругости. В простейшем случае линейно деформируемой системы восстанавливающая сила упругости пропорциональна отклонению системы. Свойства упругих связей при этом определяются коэффициентом жесткости, который представляет собой обобщенную силу, способную вызвать обобщенное единичное перемещение. Возможны случаи, когда между силой и отклонением существует нелинейная зависимость. При этом упругие свойства связей невозможно определить одним коэффициентом и приходится использовать так называемую упругую характеристику, уравнение которой F=F(x) иллюстрируется графиком в координатах x, F. Упругая характеристика строится расчетным путём или экспериментально[10]. Наряду с силами упругости восстанавливающими свойствами обладают также сила плавучести и в определенных случаях сила тяжести.

Обобщенные силы трения зависят от обобщенных скоростей и направлены противоположно движению. Эти силы совершают необратимую работу, что приводит к диссипации (рассеянию) механической энергии, поэтому иногда их называют диссипативными силами. Обычно силы трения препятствуют движению; исключение составляют автоколебательные системы. Диссипативные свойства описываются при помощи характеристик трения, которые представляют собой графические зависимости вида . В ряде случаев характеристика трения может быть нелинейной или разрывной.

Силы смешанного характера могут развиваться в сложных механических системах. Характерной особенностью таких сил является принципиальная невозможность их разложения на вышеперечисленные составляющие типа , , .

1.2 Классификация колебаний

Различают периодические и непериодические колебания.

Периодические колебания подчиняются закону:

,

где величина T называется периодом колебаний. Кроме того, имеется широкий промежуточный класс почти периодических колебаний, для которых  

,

где τ - почти период, а ε- сколь угодно малая величина.

Простейшими и в то же время наиболее часто встречающимися являются гармонические колебания приведенный на рисунке 1, которые описываются уравнением

,

где А – амплитуда колебаний;  – круговая (или  циклическая, или угловая) частота;  – фаза колебаний;  – сдвиг фазы; величина, обратная периоду колебаний, называется секундной частотой и измеряется в герцах: 1 Гц соответствует одному циклу изменения за 1 с.

Рисунок 1 – Гармонические колебания

Часто встречаются периодические, но негармонические колебания рисунок 2. Их всегда можно рассматривать как сумму простых гармонических колебаний. Процесс разложения периодических негармонических колебаний на  простые  гармонические  составляющие (гармоники)  называется гармоническим анализом и выполняется при помощи рядов Фурье.

Рисунок 2 – Негармонические колебания

Кроме того, часто встречаются следующие виды колебаний: затухающие рисунок 3(а), нарастающие рисунок 3(б), биения рисунок 3(в).

Рисунок 3 – Другие виды колебаний

Все рассмотренные на рисунке 3 виды колебаний происходят с постоянной частотой при монотонном изменении амплитуды. Возможны также колебания с переменной частотой и постоянной амплитудой или переменными частотой и амплитудой.

Колебания  могут  происходить  относительно  нулевого  отсчетного уровня, смещённого и переменного.

По способу возбуждения различают 4 типа колебаний: свободные, вынужденные, параметрические и автоколебания. А также существует критические состояния, связанные с потерей устойчивости состояния равновесия при определенных значениях системы (например, вращающиеся упругие валы при определенных угловых скоростях вращения).

Cвободные колебания, т.е. колебания совершаемые механической системой, лишенной притока извне, если система выведена из состояния устойчивого равновесия и затем представленная самой себе;.

• вынужденные колебания, которые возникают вследствие действия на механическую систему внешних переменных сил (возмущающих сил);
• параметрические колебания, вызываемые периодическими изменениями параметров системы (например, её жесткости);
• автоколебания – колебательные процессы, поддерживаемые постоянными источниками энергии из колебательного процесса.

1.3 Способ составления уравнения движения для жесткого ротора

Уравнения движения центра тяжести диска и дифференциальное уравнение движения диска около его центра применимы при изучении колебаний жесткого ротора. Ротором называют вращающуюся часть электрической машины или комплекса роторных машин. В работе Костюка А.Г излагаются колебания одномассового ротора, а также подробная классификация роторов турбомашин. Технологическое и конструктивное исполнение роторов турбомашин определяется типом турбомашины, условиями её работы (температурой, давлением рабочей среды, окружными скоростями), а также традициями и технологией, принятой на заводе-изготовителе.

По главному конструктивному признаку – форме основного элемента ротора, несущего рабочие лопатки – роторы турбомашины, подразделяются на дисковые и барабанные.

По технологическому признаку роторы турбомашин подразделяются на следующие типы: цельнокованые; с насадными дисками или наборные; сварные; сболченные. Название ротора часто содержит два признака: конструктивный и технологический, например: цельнокованый дисковой ротор, цельнокованый барабанный ротор.

Рисунок 4 – Круглый диск на валу

Рисунок 5 – Изгиб вала со свободно опертыми концами в плоскости

Если рассмотреть простейший случай одного круглого диска на валу приведенный на рисунке 4.

Приять что прогибы  и  вала при колебаниях весьма малы и что центр тяжести  диска совпадает с осью вала, то положение диска будет  полностью определяться координатами его центра и  и углами  и , которые образуют ось , перпендикулярная к плоскости диска, и касательная к изогнутой оси вала с неподвижными взаимно-перпендикулярными плоскостями  и , проходящими через ось , соединяющую центры подшипников. Полагая вес диска равным  и учитывая только упругие реакции вала, получится дифференциальное уравнения движения центра тяжести диска:

                                                (1)

где Y и Z – составляющие реакции вала в направлениях y и z. Эти реакции являются линейными функциями координат y, z и углов и могут быть определены, если обратиться к рассмотрению изогнутого вала.

Рассмотрим, например, изгиб вала со свободно опертыми концами в плоскости xy под действием силы  и пары .

Рассматривая обычным способом изогнутую ось вала, получим прогиб в точке :

и угол наклона касательной в той же точке

где B – изгибная жесткость вала. Из уравнений (2) и (3)получим:

Пользуясь выражением (4), придадим дифференциальным уравнениям движения (1) центра тяжести диска следующий вид:

где

Моменты  и , взятые относительно осей  и , параллельных осям и  приведенный на рисунке 4, и представляющие действие упругих сил вала на диск, можно записать в виде:

где  и - постоянные, которые можно получить из кривой изгиба вала.

Дифференциальные уравнения относительного движения диска около его центра тяжести получается при помощи закона изменения момента количеств движения, который устанавливает, что производная по времени полного момента количеств движения любой движущейся системы относительно любой неподвижной оси равна полному моменту внешних сил относительно той же оси. При вычислении производной момента количеств движения относительно поступательно движущихся осей, проходящих через мгновенное положение центра тяжести , учитывается только относительное движение.

При определении составляющих момента количеств движения возьмем главные оси инерции диска. Ось вращения  является одной из этих осей. Двумя другими осями являются два взаимно перпендикулярных  диаметра диска. Один из этих диаметров Оa возьмем в плоскости . Он составляет малый угол  с осью . Другой диаметр составляет угол  с осью .

Пусть  – момент инерции диска относительно оси  и  – момент инерции диска относительно диаметра. Тогда составляющая момента количества движения относительно оси   будет  и составляющая относительно диаметров  и  будут  и соответственно. Положительные направления этих составляющих момента количества движения показаны на рисунке 4. Проектируя эти составляющие на поступательно движущиеся оси  и , проходящие через мгновенное положение центра тяжести , получим  и  соответственно. Тогда из закона изменения момента количеств движения имеем:

 и

,

или, пользуясь выражением, получим:

                                                 (9)

1.4 Свободные колебания жесткого ротора

Рассмотрим свободные колебания жесткого ротора, имеющего подшипники на податливых опорах (рисунок 6). Уравнения перемещения центра тяжести и угловые перемещения оси ротора имеют вид :

,

.

Здесь  – малые перемещения подшипников при колебаниях.

Пусть , , ,  – коэффициенты жесткости опор в горизонтальном и вертикальном направлениях так, что  – представляют горизонтальные и  – вертикальные реакции подшипников, вызванные малыми перемещениями в направлениях и .

Рисунок 6 – Ротор на податливых подшипниках

Уравнение, описывающие повороты ротора относительно осей  и , имеет вид:

Дифференциальные уравнения движения центра тяжести принимают вид:

Четыре уравнения полностью описывают свободные колебания жесткого ротора на податливых опорах. Подставляя уравнения  (10), (11) функции  и их производные

получим следующую систему уравнений:

Преобразуем последнюю систему к виду:

Откуда:

Получим четыре однородных уравнения относительно  имеющих вид:

Для того, чтобы система (12) имела ненулевое решение, необходимо, чтобы определитель матрицы системы был равен нулю:

Раскрыв этот определитель, получим частотное уравнение, из которого можно вычислить частоты четырех нормальных форм колебаний ротора[11].

Частотное уравнение (13) приведено к виду:

в котором коэффициенты  выражаются через физические параметры системы:

;

Решение прямой задачи рассмотрим на конкретных примерах.

Пример 1 Определить собственные частоты колебаний жесткого ротора, для которого известно:

, , , , ,   , , , , , .

Частотное уравнение (14) после подстановки в него заданных физических параметров принимает вид:

Решение последнего уравнения, найденное с помощью ЭВМ следующее:

Следовательно, частоты колебаний ротора:

1.5 Программная реализация задачи

Решения задачи выполнено  в среде Maple 12. Программа позволяет по заданным характеристикам автомобиля определять собственные частоты ротора.

Были использованы следующие команды математического пакета Maple 12:

• Simplify, которая предназначена для упрощения разнообразных выражений, включающих рациональные дроби (алгебраические выражения);
• Collect, приводит подобные члены в обобщенных полиномах нескольких переменных, в которых в качестве неизвестных могут выступать функции с аргументами, являющимися неизвестными величинами;
• Solve, решение нелинейных уравнений в системе Maple, выдает решение в аналитическом виде;
• Restart, данная команда очищает от старого смысла и значений все переменные.

Листинг программы:

> restart;

> with(LinearAlgebra):

M := Matrix(4, [[-J*w0*p/l, J*w0*p/l, -p^2*J1/l+d1*l1, p^2*J1/l-d2*l2], [J1*p^2/l-c1*l1, -J1*p^2/l+c2*l2, J*W*p/l, -J*W*p/l], [-p^2*l2*W/(g*l)+c1,

-p^2*l1*W/(g*l)+c2], [0, 0, -p^2*l2*w/(g*l)+d1,-p^2*l1*W/(g*l)+d2]]);

>y:=Determinant(M);

>eg:=collect(y, {p}, distributed);

> W:=2; I:=0.5; g:=9.8; c2:=0.1; d1:= 1.5; d2:= 0.2; c1:=0.9; J1:=0.25; J:=0.5; l1:=0.1; l2:=0.2; l:=0.3;

> eg1:=eg;

> px:=solve(eg1,p);

> p1:=px[1]; p2:=px[2]; p3:=px[3]; p4:=px[4]; p5:=px[5]; p6:=px[6]; p7:=px[7]; p8:=px[8];

 2 ВЛИЯНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК РОТОРА НА СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ ЕГО КОЛЕБАНИЙ

2.1 Влияние массы ротора на частоты его колебаний  

Из уравнения (14) при конкретных значениях параметров механической системы можно определить значения собственных частот колебаний ротора.

Рассмотрим влияние массы ротора на значения собственных частот колебаний ротора. Нам известна масса ротора, необходимо определить соответствующие значения собственных частот.

По решению задачи получаем, что при увеличении массы ротора  частоты колебаний уменьшаются.

Рассмотрим, например, следующие параметры системы: 

В таблице 1 указаны значения собственных частот колебания жесткого ротора на податливых подшипниках, соответствующие увеличивающимся значениям массы  и при параметрах (15) механической системы.

Таблица 1 – Зависимость частот  от массы W и параметрах (15) механической системы

На рисунках 7 – 10 даны графики зависимостей собственных частот , ,  от массы ротора W для рассматриваемой выше задачи.

Рисунок 7 – Зависимость частоты  от массы W ротора и параметрах (15) системы

Рисунок 8 – Зависимость частоты  от массы W  ротора и параметрах (15) системы

Рисунок 9 – Зависимость частоты  от массы W ротора и параметрах (15) системы

Если увеличивать массу ротора W, то частоты колебаний ротора будут  уменьшаться.

2.2 Влияние на частоты колебаний ротора жесткостей горизонтальных опор

Рассмотрим теперь влияние коэффициентов жесткостей опор в горизонтальном направлении на значения собственных частот колебаний ротора. Будем менять коэффициенты жесткостей опор в горизонтальном направлении и определять соответствующие им значения собственных частот.

По решению прямой задачи получаем, что при увеличении жесткости  опоры в горизонтальном направлении и при фиксированной жесткости    другой опоры в горизонтальном направлении частоты колебаний увеличиваются. Рассмотрим, например, следующие параметры системы: 

В таблице 2 указаны значения собственных частот колебания жесткого ротора на податливых подшипниках, соответствующие увеличивающимся значениям жесткости  при фиксированной  жесткости  горизонтальных опор и при параметрах (15) механической системы.

Таблица 2 – Зависимость частот  от жесткости  горизонтальных опор при фиксированной жесткости  и параметрах (16) механической системы

На рисунках 10 – 13 даны графики зависимостей собственных частот , , ,  от жесткости  при фиксированной жесткости горизонтальных опор для рассматриваемой выше задачи.

Рисунок 10 – Зависимость частоты  от жесткости  при фиксированной жесткости  горизонтальных опор и параметрах (16) системы

Рисунок 11 – Зависимость частоты  от жесткости  при фиксированной жесткости  горизонтальных опор и параметрах (16) системы

Рисунок 12 – Зависимость частоты  от жесткости  при фиксированной жесткости  горизонтальных опор и параметрах (16) системы

Рисунок 13 – Зависимость частоты  от жесткости  при фиксированной жесткости  горизонтальных опор и параметрах (16) системы

Если увеличивать жесткость  горизонтальной опоры, а жесткость  оставить постоянной, то частоты колебаний ротора также будут  увеличиваться.

Таблица 3 – Зависимость частот  от жесткостей  и  горизонтальных опор и параметрах  (16) механической системы

Рисунок 14 – Зависимость  частоты  от жесткостей  и  горизонтальных опор при параметрах (16) механической системы

Рисунок 15 – Зависимость  частоты  от жесткостей  и  горизонтальных опор при параметрах (16) механической системы

Рисунок 16 – Зависимость  частоты  от жесткостей  и  горизонтальных опор при параметрах (16) механической системы

Рисунок 17 – Зависимость  частоты  от жесткостей  и  горизонтальных опор при параметрах (16) механической системы

Если увеличивать одновременно коэффициенты жесткостей опор в горизонтальном направлении, а коэффициенты жесткостей опор в вертикальном направлении оставить постоянными, то частоты колебаний ротора тоже увеличиваются. В таблице 3, например, указаны значения собственных частот колебаний ротора, соответствующие одновременно  увеличивающимся значениям жесткостей опор в горизонтальном направлении, при фиксированном значении жесткостей в вертикальном направлении и  параметрах (16) механической системы. Зависимость первой собственной частоты  от одновременно меняющихся коэффициентов жесткости ,  горизонтальных опор ротора представлена на рисунке 11.

Таким образом, увеличение коэффициентов жесткостей опор в горизонтальном направлении ведет к увеличению частот колебаний ротора. Подобная зависимость частот от жесткостей горизонтальных опор справедлива и при других параметрах механической системы.

2.3 Влияние на частоты колебаний ротора жесткостей вертикальных опор

Рассмотрим влияние коэффициентов жесткостей опор в вертикальном направлении на значения собственных частот колебаний ротора.

Если увеличивать жесткость  опоры вертикального направления, а жесткости опор в горизонтальном направлении и жесткость  вертикального направления оставить постоянной, то собственные частоты  также  увеличиваются.

Рассмотрим, например, следующие параметры системы: 

В таблице 4 указаны значения собственных частот, соответствующие увеличивающемуся значению жесткости опоры при фиксированных параметрах (17) механической системы.

Таблица 4 – Зависимость значений собственных частот ротора от  увеличения жесткости   при использовании параметров (17) механической системы

Рисунок 18 – Зависимость частоты  от жесткости  при фиксированной жесткости вертикальных опор и параметрах (17) механической системы

Рисунок 19 – Зависимость частоты  от жесткости  при фиксированной жесткости вертикальных опор и параметрах (17) механической системы

Рисунок 20 – Зависимость частоты  от жесткости  при фиксированной жесткости вертикальных опор и параметрах (16) механической системы

Рисунок 21 – Зависимость частоты  от жесткости  при фиксированной жесткости вертикальных опор и параметрах (17) механической системы

В таблице 5, например, указаны значения собственных частот колебаний ротора, соответствующие одновременно  увеличивающимся значениям жесткостей опор в вертикальном направлении, при фиксированном значении жесткостей в горизонтальном  направлении и  параметрах (17) механической системы. Зависимость первой собственной частоты  от одновременно меняющихся коэффициентов жесткости ,  горизонтальных опор ротора представлена на рисунке 13.

Таблица 5 – Зависимость частот  от жесткостей  и  вертикальных опор и параметрах  (17) механической системы

Рисунок 22 – Зависимость  частоты  от жесткостей  и  вертикальных опор при параметрах (17) системы

Рисунок 23 – Зависимость  частоты  от жесткостей  и  вертикальных опор при параметрах (17) системы

Рисунок 24 – Зависимость  частоты  от жесткостей  и  вертикальных опор при параметрах (17) системы

Рисунок 25 – Зависимость  частоты  от жесткостей  и  вертикальных опор при параметрах (17) системы

Таким образом, увеличение коэффициентов жесткостей вертикальных опор, так и горизонтальных опор, ведет к увеличению собственных частот колебаний ротора.

2.4 Влияние на частоты колебаний ротора жесткостей горизонтальных и вертикальных опор

Рассмотрим теперь одновременное влияние коэффициентов жесткостей опор в горизонтальном и вертикальном направлениях на значения собственных частот колебаний ротора.

По решению прямой задачи получаем, что при одновременном увеличении жесткостей опор в горизонтальном и вертикальном направлениях частоты также увеличиваются, причем увеличение значений частот происходит быстрее.

В таблице 5 и на рисунках 26 - 29 указаны значения собственных частот колебаний ротора, соответствующие одновременно  увеличивающимся значениям жесткостей опор в вертикальном и горизонтальном направлениях, при параметрах (17) механической системы.

Таблица 6 – Зависимость частот  от жесткостей , ,  и  горизонтальных и вертикальных опор и параметрах  (17) механической системы

Рисунок 26 – Зависимость  частоты  от жесткостей , ,  и  опор при параметрах (17) системы

Рисунок 27 – Зависимость  частоты  от жесткостей , ,  и  опор при параметрах (17) системы

Рисунок 28 – Зависимость  частоты  от жесткостей , ,  и   опор при параметрах (17) системы

Рисунок 29 – Зависимость  частоты  от жесткостей , ,  и  опор при параметрах (17) системы

Таким образом, по исследованию влияния характеристик ротора на частоты колебаний показано, что увеличение жесткостей как горизонтальных, так и вертикальных опор ведет увеличению частот колебаний ротора. Такие исследования необходимы при решении задач сохранения частот колебаний механической системы.

3 ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ПО ДИАГНОСТИРОВАНИЮ ХАРАКТЕРИСТИК РОТОРА

3.1 Постановка обратной задачи

Поставим теперь к задаче определения частот колебаний жесткого ротора обратную задачу — задачу диагностирования характеристик ротора по известным частотам его колебаний.

Итак, известны  собственные частоты    колебаний жесткого ротора на подшипниках. Необходимо определить характеристики ротора по известным  частотам его колебаний. К диагностируемым характеристикам мы отнесем  коэффициенты жесткостей опор в горизонтальном и вертикальном направлениях.

Остановимся на диагностировании этих характеристик подробнее.

3.2 Диагностирование жесткостей горизонтальных опор ротора

При исследовании задачи о колебаниях жесткого ротора было получено следующее частотное уравнение:

Здесь коэффициенты уравнения выражаются через физические параметры механической системы.                                                      

Обратная задача: Известны собственные частоты колебаний ротора, а также физические параметры системы. Неизвестны коэффициенты жесткости опор ротора.

Преобразуем уравнение (18) к следующему виду:

где  ( ) выражаются через физические параметры колебаний жесткого ротора:

Рассмотрим метод нахождения жесткостей ,   по известным двум собственным частотам колебаний ротора.

Если даны две собственные частоты   и  , то уравнения (18)  представляют собой систему алгебраических уравнений с двумя неизвестными  , _. :

Вычитая из первого уравнения системы второе уравнение, получим:

Откуда выразим коэффициент  опоры ротора:

Подставляя значение  в первое уравнение системы уравнений (21), получим:

Преобразуем последнее равенство и получим квадратное уравнение относительно  коэффициента :

Решив уравнение (23) получим следующее выражение для коэффициента :

в котором

Таким образом, если известны две собственные частоты колебаний ротора, то жесткости горизонтальных опор находятся по формулам (22) - (25).

Пример 2 Известны частоты колебаний ротора и следующие физические параметры:

,   ,   ,   ,  , ,   ,   ,   , ,   .

Найти соответствующие жесткости горизонтальных опор.

Решение.

Система уравнений (21) после подстановки в него заданных числовых значений принимает вид:

Решение системы найденное с помощью ЭВМ имеет вид:

Значит, коэффициенты жесткостей следующие:

Эти же значения определяются по аналитическим формулам (22) - (25).

Действительно, если ,  подставить  в уравнение (23), получим квадратное уравнение :

По формуле (25) имеем:

Подставляя найденное выражение в формулу (24) определим значение коэффициента жесткости  :

По формуле (22) найдем значение  коэффициента жесткости :

Таким образом, по формулам (22) - (25) жесткости опор такие же:

,   .

Значения ,  определены верно, так как по решению прямой задачи  именно этим жесткостям горизонтальных опор ротора соответствуют заданные значения собственных частот.

3.3 Диагностирование жесткостей вертикальных опор ротора

Рассмотрим теперь задачу диагностирования жесткостей вертикальных опор ротора по заданным частотам колебаний системы.

Обратная задача. Известны собственные частоты колебаний механической системы ротора. Неизвестны жесткости вертикальных опор ротора.

Преобразуем частотное уравнение (18) к виду:

где функции   представлены следующим образом:

                                                                                                                               (27)

Если известны две собственные частоты   и  , то уравнения (18)  представляют собой систему алгебраических уравнений с двумя неизвестными  , :

Вычитая из первого уравнения системы (28) второе уравнение, получим:

Откуда выразим коэффициент жесткости  ротора:

Подставляя значение коэффициента жесткости  в первое уравнение системы уравнений (28), получим:

Преобразуем последнее равенство и получим квадратное уравнение относительно коэффициента жесткости :

Из уравнения (30) получим выражение для коэффициента  жесткости :

где

Таким образом, по известным двум частотам колебаний ротора с помощью формул (29) – (32) можно определить жесткости вертикальных опор.

Пример 3 Известны следующие физические параметры механической системы и частоты колебаний:

, , , , ,  , , ,   ,   ,   , , .

Найти соответствующие жесткости вертикальных опор.

Решение.

Система уравнений (27) после подстановки в него заданных числовых значений принимает вид:

Решение системы, найденное с помощью ЭВМ, имеет вид:

Значит, с большой точностью можно сказать, что коэффициенты вертикальных опор следующие:

Эти же значения определяются по аналитическим формулам (29) - (32).

Действительно, если , подставить  в уравнение (30), получим квадратное уравнение :

Тогда по формуле (32) имеем:

Подставляя найденный дискриминант в формулу (31) найдем значение коэффициента жесткости :

По (29) найдем значение  коэффициента :

Таким образом, по формулам (22) - (25) определены такие же коэффициенты жесткостей вертикальных опор:

, .

Значения  ,  определены верно, так как по решению прямой задачи именно этим жесткостям горизонтальных опор ротора соответствуют данные значения собственных частот.

3.4 Программная реализация обратной задачи

Решения задачи выполнено  в среде Maple 12[12]. Программа позволяет по заданным характеристикам автомобиля определять собственные частоты ротора[13].

Были использованы следующие команды математического пакета Maple 12[14]:

• Simplify, которая предназначена для упрощения разнообразных выражений, включающих рациональные дроби (алгебраические выражения);
• Collect, приводит подобные члены в обобщенных полиномах нескольких переменных, в которых в качестве неизвестных могут выступать функции с аргументами, являющимися неизвестными величинами;
• Solve, решение нелинейных уравнений в системе Maple, выдает решение в аналитическом виде;
• Restart, данная команда очищает от старого смысла и значений все переменные.

Листинг программы:

>  p:='p'; d1:='d1';d2:='d2';

> p:=p2; eg11:=evalf(eg);

> p:=p4; eg12:=evalf(eg);

> solve({eg11,eg12},{d1,d2});

> restart;with(LinearAlgebra):

вычитаем из первого уравнения второе

> eq1:=f1(p1)*c1*c2+f2(p1)*c1+f3(p1)*c2+f4(p1)-(f1(p2)*c1*c2+f2(p2)*c1+f3(p2)*c2+f4(p2));

собираем относительно с1 и с2

> eq2:=collect(eq1,{c1,c2},distributed);

выражаем с1

> c1:=solve(eq2,c1);

подставляем с1 в первое уравнение

> eq3:=f1(p1)*c1*c2+f2(p1)*c1+f3(p1)*c2+f4(p1);

> eq4:=simplify(eq3);

берем числитель

> eq5:=f1(p1)*c2^2*f3(p2)+f1(p1)*c2*f4(p2)+f2(p1)*f3(p2)*c2+f2(p1)*f4(p2)-f3(p1)*c2^2*f1(p2)-f3(p1)*c2*f2(p2)-f4(p1)*f1(p2)*c2-f4(p1)*f2(p2);

собираем относительно с2, получаем квадратное уравнение

> eq6:=collect(eq5,{c2},distributed);

> W:=2;  g:=9.8;  d1:= 1.5; d2:= 0.2;  J1:=0.25; J:=0.5; l1:=0.1; l2:=0.2; l:=0.3; p1:=0.01130833612; p2:=2.211662868;

> f1(p1):=(-2*l1*l^2*g*W*p1^4*l2*J1+l1*l^3*g*W*p1^2*l2^2*d2+l1*l^3*g^2*d1*p1^2*J1-l1^2*l^2*g*p1^4*J1*W+l1*l^3*g^2*p1^2*J1*d2+l1^3*l^3*g*d1*p1^2*W-2*l1*l^4*g^2*d1*d2*l2-l1^2*l^4*g^2*d1*d2-g^2*l^4*l2^2*d1*d2-g*l^2*l2^2*W*p1^4*J1+g*l^3*l2^3*W*p1^2*d2+g^2*l^3*l2*d1*p1^2*J1+g^2*l^3*l2*p1^2*J1*d2+g*l^3*l2*d1*l1^2*p1^2*W)/l^4/g^2;

> f1(p2):=(-2*l1*l^2*g*W*p2^4*l2*J1+l1*l^3*g*W*p2^2*l2^2*d2+l1*l^3*g^2*d1*p2^2*J1-l1^2*l^2*g*p2^4*J1*W+l1*l^3*g^2*p2^2*J1*d2+l1^3*l^3*g*d1*p2^2*W-2*l1*l^4*g^2*d1*d2*l2-l1^2*l^4*g^2*d1*d2-g^2*l^4*l2^2*d1*d2-g*l^2*l2^2*W*p2^4*J1+g*l^3*l2^3*W*p2^2*d2+g^2*l^3*l2*d1*p2^2*J1+g^2*l^3*l2*p2^2*J1*d2+g*l^3*l2*d1*l1^2*p2^2*W)/l^4/g^2;

> f2(p1):=(l1^2*l*p1^6*W^2*l2*J1-l1^2*l^2*p1^4*W^2*l2^2*d2-2*p1^4*J1*g*l^2*d1*l1^2*W-J^2*W^3*p1^4*g*l*l1+l1^3*l*p1^6*W^2*J1+J^2*W^2*p1^2*g^2*l^2*d1-J^2*W^3*p1^4*g*l*l2+J^2*W^2*p1^2*g^2*l^2*d2+l1^3*l^3*p1^2*W*d1*d2*g+p1^6*J1^2*g*l*l1*W-p1^4*J1^2*g^2*l^2*d2+p1^2*J1*g^2*l^3*d1*l1*d2+p1^6*J1^2*g*l*W*l2-l1^4*l^2*p1^4*W^2*d1+l1^2*l^3*p1^2*W*d1*g*d2*l2-l1^2*l^2*p1^4*W*J1*d2*g+p1^2*J1*g^2*l^3*d1*d2*l2-p1^4*J1^2*g^2*l^2*d1-p1^4*J1*g*l^2*W*l2^2*d2)/l^4/g^2;

> f2(p2):=(l1^2*l*p2^6*W^2*l2*J1-l1^2*l^2*p2^4*W^2*l2^2*d2-2*p2^4*J1*g*l^2*d1*l1^2*W-J^2*W^3*p2^4*g*l*l1+l1^3*l*p2^6*W^2*J1+J^2*W^2*p2^2*g^2*l^2*d1-J^2*W^3*p2^4*g*l*l2+J^2*W^2*p2^2*g^2*l^2*d2+l1^3*l^3*p2^2*W*d1*d2*g+p2^6*J1^2*g*l*l1*W-p2^4*J1^2*g^2*l^2*d2+p2^2*J1*g^2*l^3*d1*l1*d2+p2^6*J1^2*g*l*W*l2-l1^4*l^2*p2^4*W^2*d1+l1^2*l^3*p2^2*W*d1*g*d2*l2-l1^2*l^2*p2^4*W*J1*d2*g+p2^2*J1*g^2*l^3*d1*d2*l2-p2^4*J1^2*g^2*l^2*d1-p2^4*J1*g*l^2*W*l2^2*d2)/l^4/g^2;

> f3(p1):=(W^2*p1^6*l2^2*l*J1*l1-p1^4*J1^2*g^2*l^2*d2-J^2*W^3*p1^4*g*l*l2-p1^4*J1^2*g^2*l^2*d1+W^2*p1^6*l2^3*l*J1-W^2*p1^4*l2^2*l^2*d1*l1^2-2*p1^4*J1*g*l^2*W*l2^2*d2+J^2*W^2*p1^2*g^2*l^2*d1-J^2*W^3*p1^4*g*l*l1-W^2*p1^4*l2^4*l^2*d2+p1^6*J1^2*g*l*l1*W+p1^2*J1*g^2*l^3*d1*d2*l2+p1^6*J1^2*g*l*W*l2+J^2*W^2*p1^2*g^2*l^2*d2-W*p1^4*l2^2*l^2*d1*g*J1+W*p1^2*l2^3*l^3*d1*g*d2+W*p1^2*l2^2*l^3*d1*l1*d2*g+p1^2*J1*g^2*l^3*d1*l1*d2-p1^4*J1*g*l^2*d1*l1^2*W)/l^4/g^2;

> f3(p2):=(W^2*p2^6*l2^2*l*J1*l1-p2^4*J1^2*g^2*l^2*d2-J^2*W^3*p2^4*g*l*l2-p2^4*J1^2*g^2*l^2*d1+W^2*p2^6*l2^3*l*J1-W^2*p2^4*l2^2*l^2*d1*l1^2-2*p2^4*J1*g*l^2*W*l2^2*d2+J^2*W^2*p2^2*g^2*l^2*d1-J^2*W^3*p2^4*g*l*l1-W^2*p2^4*l2^4*l^2*d2+p2^6*J1^2*g*l*l1*W+p2^2*J1*g^2*l^3*d1*d2*l2+p2^6*J1^2*g*l*W*l2+J^2*W^2*p2^2*g^2*l^2*d2-W*p2^4*l2^2*l^2*d1*g*J1+W*p2^2*l2^3*l^3*d1*g*d2+W*p2^2*l2^2*l^3*d1*l1*d2*g+p2^2*J1*g^2*l^3*d1*l1*d2-p2^4*J1*g*l^2*d1*l1^2*W)/l^4/g^2;

> f4(p1):=(-J^2*W^3*p1^4*l1*d1*g*l-J^2*W^3*p1^4*l1*d2*g*l+W^4*p1^6*l2^2*J^2-W^2*p1^8*l2^2*J1^2-2*p1^4*J1*l1*W*d1*g*l^2*d2*l2-p1^4*J1*l1^2*W*d1*l^2*d2*g+p1^6*J1*l1*W^2*l2^2*d2*l+p1^6*J1^2*l1*W*d1*g*l+p1^6*J1^2*l1*W*d2*g*l+W^2*p1^6*l2^3*J1*d2*l-W^3*p1^4*l2*J^2*d1*g*l-W^3*p1^4*l2*J^2*d2*g*l+W*p1^6*l2*J1^2*d1*g*l+W*p1^6*l2*J1^2*d2*g*l+W^2*p1^6*l2*J1*d1*l1^2*l+J^2*W^4*p1^6*l1^2+2*J^2*W^4*p1^6*l1*l2-W*p1^4*l2^2*J1*d1*g*l^2*d2+p1^6*J1*l1^3*W^2*d1*l-2*p1^8*J1^2*l1*W^2*l2-p1^8*J1^2*l1^2*W^2)/l^4/g^2;

> f4(p2):=(-J^2*W^3*p2^4*l1*d1*g*l-J^2*W^3*p2^4*l1*d2*g*l+W^4*p2^6*l2^2*J^2-W^2*p2^8*l2^2*J1^2-2*p2^4*J1*l1*W*d1*g*l^2*d2*l2-p2^4*J1*l1^2*W*d1*l^2*d2*g+p2^6*J1*l1*W^2*l2^2*d2*l+p2^6*J1^2*l1*W*d1*g*l+p2^6*J1^2*l1*W*d2*g*l+W^2*p2^6*l2^3*J1*d2*l-W^3*p2^4*l2*J^2*d1*g*l-W^3*p2^4*l2*J^2*d2*g*l+W*p2^6*l2*J1^2*d1*g*l+W*p2^6*l2*J1^2*d2*g*l+W^2*p2^6*l2*J1*d1*l1^2*l+J^2*W^4*p2^6*l1^2+2*J^2*W^4*p2^6*l1*l2-W*p2^4*l2^2*J1*d1*g*l^2*d2+p2^6*J1*l1^3*W^2*d1*l-2*p2^8*J1^2*l1*W^2*l2-p2^8*J1^2*l1^2*W^2)/l^4/g^2;

> eq7:=f2(p1)*f4(p2)-f4(p1)*f2(p2)+(f1(p1)*f4(p2)+f2(p1)*f3(p2)-f3(p1)*f2(p2)-f4(p1)*f1(p2))*c2+(f1(p1)*f3(p2)-f3(p1)*f1(p2))*c2^2;

> eq7:=(f1(p1)*f4(p2)+f2(p1)*f3(p2)-f3(p1)*f2(p2)-f4(p1)*f1(p2))^2-4*(f1(p1)*f3(p2)-f3(p1)*f1(p2))*(f2(p1)*f4(p2)-f4(p1)*f2(p2));

>

> c2:=(-(f1(p1)*f4(p2)+f2(p1)*f3(p2)-f3(p1)*f2(p2)-f4(p1)*f1(p2))+sqrt(eq7))/2*(f1(p1)*f3(p2)-f3(p1)*f1(p2));